奇异值分解-经济百科

奇异值分解(Singular Value Decomposition)

什么是奇异值分解

奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵分解，在信号处理、统计学等领域有重要应用。奇异值分解在某些方面与对称矩阵或HERMitian矩阵基于特征矢量的对角化类似。然而这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是有明显的不同。对称阵特征矢量分解的基础是谱分析，而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。

理论描述

假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得

其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶实数对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。Σ对角线上的元素Σ_i,i即为M的奇异值。

常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。（虽然U和V仍然不能确定。）

直观的解释

在矩阵M的奇异值分解中

V的列（columns）组成一套对的正交"输入"或"分析"的基矢量。这些矢量是的特征矢量。

U的列（columns）组成一套对的正交"输出"的基矢量。这些矢量是的特征矢量。

Σ对角线上的元素是奇异值，可视为是在输入与输出间进行的纯量的"膨胀控制"。这些是及的特征值的非零平方根，并与U和V的行矢量相对应。

奇异值和奇异矢量，以及他们与奇异值分解的关系

一个非负实数σ是M的一个奇异值仅当存在K^m的单位矢量u和Kⁿ的单位矢量v如下：

Mv = σu andM^*u = σv

其中矢量u和v分别为σ的左奇异矢量和右奇异矢量。

对于任意的奇异值分解

矩阵Σ的对角线上的元素等于M的奇异值. U和V的列分别是奇异值中的左、右奇异矢量。因此，上述定理表明：

一个m×n的矩阵至少有一个最多有p = min(m,n)个不同的奇异值；

总能在K^m中找到由M的左奇异矢量组成的一组正交基U，；

总能在Kⁿ找到由M的右奇异矢量组成的一组正交基V，。

如果对于一个奇异值，可以找到两组线性无关的左（右）奇异矢量，则该奇异值称为简并的（或退化的）。

非退化的奇异值在最多相差一个相位因子exp(iφ)（若讨论限定在实数域内，则最多相差一个正负号）的意义下具有唯一的左、右奇异矢量。因此，如果M的所有奇异值都是非退化且非零，则除去一个可以同时乘在U,V上的任意的相位因子外，M的奇异值分解唯一。

根据定义，退化的奇异值具有不唯一的奇异矢量。因为，如果u₁和u₂为奇异值σ的两个左奇异矢量，则它们的任意归一化线性组合也是奇异值σ一个左奇异矢量，右奇异矢量也具有类似的性质。因此，如果M具有退化的奇异值，则它的奇异值分解是不唯一的。

例子

观察一个4×5的矩阵

M矩阵的奇异值分解如下UΣV^*

注意矩阵Σ的所有非对角元为0。矩阵U和V^*都是酉矩阵，它们乘上各自的共轭转置都得到单位矩阵。如下所示。在这个例子中，由于U和V^*都是实矩阵，故它们都是正交矩阵。

由于Σ有一个对角元是零，故这个奇异值分解值不是唯一的。例如，选择V使得

能得到M的另一个奇异值分解。

奇异值分解与特征值分解的联系

奇异值分解能够用于任意矩阵，而特征分解只能适用于特定类型的方阵，故奇异值分解的适用范围更广。不过，这两个分解之间是有关联的。给定一个M的奇异值分解，根据上面的论述，两者的关系式如下：

关系式的右边描述了关系式左边的特征值分解。于是：

V的列矢量（右奇异矢量）是M^*M的特征矢量。

U的列矢量（左奇异矢量）是MM^*的特征矢量。

Σ的非零对角元（非零奇异值）是M^*M或者MM^*的非零特征值的平方根。

特殊情况下，当M是一个正规矩阵（因而必须是方阵）根据谱定理，M可以被一组特征矢量对角化，所以它可以表为：

M = UDU^*

其中U为一个酉矩阵，D为一个对角阵。如果M是半正定的，M = UDU^*的分解也是一个奇异值分解。

然而，一般矩阵的特征分解跟奇异值分解不同。特征分解如下：

M = UDU^{? 1}

其中U是不需要是酉的，D也不需要是半正定的。而奇异值分解如下：

M = UΣV^*

其中Σ是对角半正定矩阵，U和V是酉矩阵，两者除了通过矩阵M没有必然的联系。

奇异值分解的应用

奇异值分解可以被用来计算矩阵的伪逆。若矩阵M的奇异值分解为M = UΣV^*，那么M的伪逆为

其中Σ⁺是Σ的伪逆，是将Σ主对角线上每个非零元素都求倒数之后再转置得到的。求伪逆通常可以用来求解最小二乘法问题。

奇异值分解的另一个应用是给出矩阵的行空间与列空间|列空间、零空间和秩 (线性代数)|秩的表示。对角矩阵Σ的非零对角元素的个数对应于矩阵M的秩。与零奇异值对应的右奇异矢量线性生成空间|生成矩阵M的零空间，与非零奇异值对应的左奇异矢量则生成矩阵M的列空间。在线性代数数值计算中奇异值分解一般用于确定矩阵的有效秩，这是因为，由于舍入误差，秩亏矩阵的零奇异值可能会表现为很接近零的非零值。