模糊集合(Fuzzy Sets)

目录

1.什么是模糊集合2.模糊集合的运算

• 什么是模糊集合

  模糊集合是由在某种程度上属于它的原素构成的。从隶属到不隶属的转变，不像普通集合那样是硬性的，而是软性的。同样，模糊逻辑的对象是不明确的真理，模糊联结词和推论规则与古典的二值逻辑是对立的。

  给定一个论域 U ，那么从 U 到单位区间的一个映射

  称为 U 上的一个模糊集合，或 U 的一个模糊子集，

  要注意，严格地说，模糊集合或子集是映射所确定的序对集，但由于模糊子集完全由其隶属函数所确定，因而我们不区分映射和映射所确定的序对集，而总是直接把模糊子集定义为一个满足上述定义的映射。

  模糊集合可以记为 A 。

  映射（函数） μA(·) 或简记为 A(·) 叫做模糊集合 A 的隶属函数。

  对于每个 x ∈ U ， μA(x) 叫做元素 x 对模糊集合 A 的隶属度。

  模糊集合的常用表示法有下述几种：

  解析法，也即给出隶属函数的具体表达式。

  Zadeh 记法，例如。分母是论域中的元素，分子是该元素对应的隶属度。有时候，若隶属度为0，该项可以忽略不写。

  序偶法，例如

  模糊集合的运算

  各种算子

  Zadeh 算子，max 即为并，min 即为交

  代数算子（概率和、代数积）

  有界算子

  Einstein 算子

  HAMAcher 算子，其中ν ∈是参数

  算子的性质

  主要算子的性质对比表如下（.表示不满足，-表示未验证）：

  同一律

  幂等律	支配律	吸收律	双重否定律	德·摩根律
  Zedah	√	√	√	.	√	√	√	√	√	√
  代数	√	√	.	.	√	.	√	.	-	√
  有界	√	√	.	√	√	.	√	√	-	√ 线性补偿是指： 排中律 分配律 结合律 线性补偿 Zadeh √ . √ √ . 代数 . . . √ . 有界 . √ . . √ HamACHer r = 0 . . . √ . Yager . . . √ . Hamacher . . . √ . Dobois-PRade . . . √ . 模糊集合之间的距离 使用度量理论 可以使用一般的度量理论来描述模糊集合之间的距离。在这个意义上，我们需要在模糊幂集 F(U) 上建立一个度量，此外，我们还可能需要将此度量标准化，也即映射到区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离： 贴近度 另一种是使用贴近度概念。在某种意义上，贴近度就是 1 - 距离（这里的距离是上述标准化意义上的距离）。而之所以应用这个变换，是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近，贴近的程度显然越“高”，因此它恰为距离的反数。 除了距离外，还有一些与模糊集合的特殊操作有关系的贴近度定义。 最大最小贴近度 算术平均最小贴近度 几何平均最小贴近度 指数贴近度 模糊集合的模糊度 一个模糊集合 A 的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一个直观的定义是这样的： 设映射 D: F(U) →满足下述5条性质： 清晰性：D(A) = 0 当且仅当 A ∈ P(U)。（经典集的模糊度恒为0。） 模糊性：D(A) = 1 当且仅当 ? u ∈ U 有 A(u) = 0.5。（隶属度都为0.5的模糊集合最模糊。） 单调性：? u ∈ U，若 A(u) ≤ B(u) ≤ 0.5，或者 A(u) ≥ B(u) ≥ 0.5，则 D(A) ≤ D(B)。 对称性：? A ∈ F(U)，有 D(A，一个常用的公式（分别针对有限和无限论域）就是 其中 p > 0 是参数，称为 Minkowski 模糊度。特别地，当 p = 1 的时候称为 Hamming 模糊度或 KAufmann 模糊指标，当 p = 2 的时候称为 Euclid 模糊度。 参考文献 ↑ Etienne E.Kerre等，模糊集合理论与近似推理，武汉大学出版社，2004年，第103页。 ↑ 陈水利等，模糊集合理论及其应用，科学出版社，2005年，第20页。