拉格朗日乘数（Lagrange Multipliers）
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什么是拉格朗日乘数
在数学最优化问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫?拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。
简单举例：
最大化 f(x,y)。
受限于 g(x,y) = c。
引入新变量拉格朗日乘数λ，即可求解下列拉格朗日方程
此方法的证明牵涉到偏微分，全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。
拉格朗日乘数的介绍
微积分中最常见的问题之一是求一个函数的极大极小值（极值）。但是很多时候找到极值函数的显式表达是很困难的，特别是当函数有先决条件或约束时。拉格朗日乘数则提供了一个非常便利方法来解决这类问题，而避开显式地引入约束和求解外部变量。
先看一个二维的例子：假设有函数：f(x,y)，要求其极值（最大值/最小值），且满足条件：。
c 为常数。对不同dn的值，不难想象出的等高线。而方程g的可行集所构成的线正好是g(x,y) = c。想象我们沿着g = c的可行集走；因为大部分情况下f的等高线和g的可行集线不会重合，但在有解的情况下，这两条线会相交。想象此时我们移动g = c上的点，因为f是连续的方程，我们因此能走到更高或更低的等高线上，也就是说dn可以变大或变小。只有当g = c和相切，也就是说，此时，我们正同时沿着g = c和走。这种情况下，会出现极值或鞍点。
气象图中就很常出现这样的例子，当温度和气压两列等高线同时出现的时候，切点就意味着约束极值的存在。
用向量的形式来表达的话，我们说相切的性质在此意味着f和g的切线在某点上平行。此时引入一个未知标量λ，并求解：
且λ ≠ 0。
一旦求出λ的值，将其套入下式，易求在无约束极值和极值所对应的点。
=
新方程F(x,y)在达到极值时与f(x,y)相等，因为F(x,y)达到极值时g(x,y) ? c总等于零。
拉格朗日乘数的运用方法
如f定义为在Rn上的方程，约束为gk（x）= ck（或将约束左移得到gk(x) ? ck = 0）。定义拉格朗日Λ为
。
注意极值的条件和约束现在就都被记录到一个式子里了：
和。
拉格朗日乘数常被用作表达最大增长值。原因是从式子：。中我们可以看出λk是当方程在被约束条件下，能够达到的最大增长率。拉格朗日力学就使用到这个原理。
拉格朗日乘数法在KArush-Kuhn-Tucker最优化条件被推广。
拉格朗日乘数例子
案例一
求此方程的最小值：
f(x,y) = x2y
同时未知数满足
x2 + y2 = 1
因为只有一个未知数的限制条件，我们只需要用一个乘数λ。
g(x,y) = x2 + y2 ? 1
Φ(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y) = x2y + λ(x2 + y2 ? 1)
将所有Φ方程的偏微分设为零，得到一个方程组，最大值是以下方程组的解中的一个：
2xy + 2λx = 0
x2 + 2λy = 0
x2 + y2 ? 1 = 0
案例二
。
所有概率的总和是1，因此我们得到的约束是g（p）= 1即
。
可以使用拉格朗日乘数找到最高熵（概率的函数）。对于所有的k 从1到n，要求
由此得到
。
计算出这n个等式的微分，我们得到：
。
这说明pi都相等 (因为它们都只是λ的函数)。
解出约束∑k pk = 1，得到
。
因此，使用均匀分布可得到最大熵的值。
拉格朗日乘数在经济学中的应用
约束最优化在经济学占有很重要的地位。例如一个消费者的选择问题可以被视为一个求效用|效用方程在预算约束下的最大值问题。拉格朗日乘数在经济学中被解释为影子价格，设定在某种约束下，在这里即收入的边际效用。
拉格朗日乘数就是效用函数在最优解出对收入的偏导数，也就是在最优解处增加一个单位收入带来的效用增加，或者说在最优解处有效用衡量收入的价值，称之为收入的边际效用。
在企业生产问题中，拉格朗日乘数用来衡量要素投入变动所带来的收入变动，du/DM=λ,u表示效用函数或生产函数，m表示收入或要素投入。
在具体数学推导中还可以运用包络定理的内容。
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