克罗内克积-经济百科

什么是克罗内克积

克罗内克积是指两个任意大小的矩阵间的运算，表示为。克罗内克积是张量积的特殊形式，以德国数学家利奥波德?克罗内克命名。

克罗内克积的定义

如果A是一个m×n的矩阵，而B是一个p×q的矩阵，克罗内克积则是一个mp×nq的分块矩阵

更具体地可表示为

克罗内克积的特性

双线性和结合律

克罗内克积是张量积的特殊形式，因此满足双线性映射,双线性与结合律：

，，，。

其中，A,B和C是矩阵，而k是常量。

克罗内克积不符合交换律：

通常，AB不同于BA。

AB和BA是排列等价的，也就是说，存在排列矩阵P和Q，使得:

如果A和B是方块矩阵，则AB和BA甚至是排列相似矩阵,相似的，也就是说，我们可以取P=Q

这个性质称为“混合乘积性质”，因为它混合了通常的矩阵乘积和克罗内克积。于是可以推出，AB是可逆矩阵,可逆的当且仅当A和B是可逆的，其逆矩阵为：

克罗内克和

如果A是n×n矩阵，B是m×m矩阵，表示k×k单位矩阵，那么我们可以定义克罗内克和为：

谱

假设A和B分别是大小为n和q的方块矩阵。设λ1，……，λn为A的特征值，μ1，……，μq为B的特征值。那么AB的特征值为：

λiμj,i=1,……，n;j=1,……,q。

于是可以推出，两个矩阵的克罗内克积的迹和行列式为：

奇异值

如果A和B是长方矩阵，那么我们可以考虑它们的奇异值分解,奇异值。假设A有rA个非零的奇异值，它们是：

σA,i,i=1,……,rA

类似地，设B的非零奇异值为：

σB,i,i=1,……,rB

那么克罗内克积AB有rArB个非零奇异值，它们是：

σA,iσB,j,i=1,……,rA,j=1,……,rB

由于一个矩阵的秩等于非零奇异值的数目，因此我们有：

与抽象张量积的关系

矩阵的克罗内克积对应于线性映射的抽象张量积。特别地，如果向量空间V、W、X和Y分别具有基{v1,...,vm}、{w1,...,wn}、{x1,...,xd}和{y1,...,ye}，且矩阵A和B分别在恰当的基中表示线性变换S:V→X和T:W→Y，那么矩阵A?B表示两个映射的张量积S?T:V?W→X?Y，关于V?W的基{v1?w1,v1?w2,...,v2?w1,...,vm?wn}和X?Y的类似基。