柯布—道格拉斯生产函数-经济百科

柯布-道格拉斯生产函数(Cobb-Douglas PRoduction function)

柯布-道格拉斯生产函数概述

柯布—道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家保罗·道格拉斯(Paul H. Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是以美国数学家C．W．柯布和经济学家保罗．H．道格拉斯的名字命名的。是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数。是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。它是以美国数学家C·W·柯布和经济学家保罗·H·道格拉斯的名字命名的。柯布—道格拉斯生产函数的一般形式可以表示为：

他们根据有关历史资料，研究了从1899－1922年美国的资本和劳动对生产的影响，在技术经济条件不变的情况下，得出了产出与投入的劳动力及资本的关系。但是柯布－道格拉斯生产函数中把技术水平A作为固定常数，难以反映出因技术进步而给产出带来的影响。

柯布—道格拉斯生产函数中，如果有任何一种投入品为零，则产出也为零，因此对于生产来说，每种生产要素都是必需的，没有一种要素可以完全替代另一种要素。

柯布—道格拉斯生产函数是采用的边际分析方法，可用于分析要素投入对产量（产出）的贡献率、规模收益和其他系列问题。是生产函数中应用广泛的一种！

根据研究目的和需要，现在有很多在柯布——道格拉斯生产函数基础上变形应用的函数形式。

柯布-道格拉斯生产函数的基本形式

柯布-道格拉斯生产函数的基本形式为：

Y = A(t)L^αK^βμ

式中Y是工业总产值，At是综合技术水平，L是投入的劳动力数（单位是万人或人）,K是投入的资本，一般指固定资产净值（单位是亿元或万元，但必须与劳动力数的单位相对应，如劳动力用万人作单位，固定资产净值就用亿元作单位）,α 是劳动力产出的弹性系数,β是资本产出的弹性系数,μ表示随机干扰的影响，μ≤1。从这个模型看出，决定工业系统发展水平的主要因素是投入的劳动力数、固定资产和综合技术水平（包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术等）。根据α 和β的组合情况,它有三种类型：

①α＋β>1, 称为递增报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是有利的。

②α＋β<1, 称为递减报酬型,表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是得不偿失的。

③α＋β＝1, 称为不变报酬型，表明生产效率并不会随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益。

美国经济学家R.M.斯诺提出的中性技术模式即斯诺模型属于不变报酬型。当μ＝1时，斯诺模型为：

Y = A(t)L^{1 ? ε}K^ε 或 $A(t)=\left(\frac{Y}{L}\right)^{1-\epsilon}\left(\frac{K}{Y}\right)^{-\epsilon}$

式中(1-ε)是劳动力产出的弹性系数。根据弹性系数的经济意义和数学意义, $\epsilon=\frac{\partial ln Y}{\partial ln K}=\frac{qK}{pY}$ 。这里p是产出价格,q是资本价格。当p＝q时, $\epsilon=\frac{K}{Y}$ 。 $A(t)=\left(\frac{Y}{L}\right)^{1-\frac{K}{Y}}\left(\frac{K}{Y}\right)^{-\frac{K}{Y}}$ 。它表示对生产技术水平、经营管理水平和服务水平的综合评价，全面反映企业的适应能力、竞争能力和生存能力。A(t)值越大，水平越高。

根据柯布-道格拉斯生产函数可以得到下列经济参数（设μ＝1）：

①劳动力边际生产力 $MP_L=\frac{\partial Y}{\partial L}=\alpha\frac{Y}{L}$ 表示在资产不变时增加单位劳动力所增加的产值。

②资产边际生产力 $MP_k=\frac{\partial Y}{\partial K}=\beta\frac{Y}{K}$ 表示在劳动力不变时增加单位资产所增加的产值。

③劳力对资产的边际代换率 $MP_s=\frac{\partial K}{\partial L}=\frac{\alpha}{\beta}\left(\frac{A}{Y}\right)^{\frac{1}{\beta}}L^{-(1+\frac{\alpha}{\beta})}$ 表示产值不变时增加单位劳动力所能减少的资产值。

④劳动力产出弹性系数 $\alpha=\frac{\partial Y}{Y}/\frac{\partial L}{L}$ ，表示劳动力投入的变化引起产值的变化的速率。

⑤资产产出弹性系数 $\beta=\frac{\partial Y}{Y}/\frac{\partial K}{K}$ ,表示资产投入的变化引起产值变化的速率。国际上一般取α＝0.2～0.4,β=0.8～0.6。中国根据国家计委测算一般可取α＝0.2～0.3,β＝0.8～0.7。

柯布一道格拉斯生产函数的应用^[1]

柯布一道格拉斯生产函数主要用于测定生产过程中资本投人量和劳动投入量对产出量的影响；亦可测定科技进步、资本增长、劳动增长对产出增长的贡献率。柯布一道格拉斯生产函数为

$Y=ak^{\beta_1}L^{\beta_2}$

其中：Y代表产出增长率，a代表科技进步率，K代表资本增长率，β₁代表资本产出弹性系数，L代表劳动增长率，β₂代表劳动产出弹性系数。

用柯布一道格拉斯生产函数测定科技进步、资本增长、劳动增长对产出增长的贡献率，必须先估计参数β₁和β₂,有下列两种方法可供选择。

1．正规化法

正规化法是在假定规模报酬不变(β₁+β₂=1)的条件下，利用产出量、资本量和劳动量三者平均增长率( $\overline{y}$ 、 $\overline{K}$ 、 $\overline{L}$ )的比例关系，估计参数a、β₁和β₂，进而测定科技进步、资本增长、劳动增长对产出增长的贡献率。计算公式为

$\beta_1=\frac{\frac{\overline{y}}{\overline{K}}}{\frac{y}{K}+\frac{y}{L}}$

β₂ = 1 ? β₁

$a=\overline{y}-\beta_1\overline{K}-\beta_2\overline{L}$

科技进步、资本增长、劳动增长对产出增长的贡献率的关系式为

$\frac{a}{y}+\frac{\beta_1\overline{K}}{y}+\frac{\beta_2\overline{L}}{y}=1$

【例1】某企业近10年增加值与资本和劳动投入如图1所示。根据正规化法估计的科技进步率a=1．9449，资本产出弹性系数β₁=0．5941，劳动产出弹性系数β₂=0．4059，测定的科技进步、资本增长、劳动增长对产出增长的贡献率分别为24．49％、51．48％和24．03％。为了便于比较，亦可测定不同时期的科技进步、资本增长、劳动增长对产出增长的贡献率。

2．回归估计法

回归估计法亦是在假定规模报酬不变(β₁+β₂=1)的条件下，利用最小二乘法估计参数a、β₁和β₂，进而测定科技进步、资本增长、劳动增长对产出增长的贡献率。柯布一道格拉斯生产函数 $Y=ak^{\beta_1}L^{\beta_2}$ 两边取对数得：

lgy=lga+β₁lgK+β₂lgL

=lga+β₁lgK+(1-β₁)lgL

lgy-lgL=Iga+β₁(lgK-lgL)

lg $\frac{y}{K}$ =lga+β₁lg $\frac{K}{L}$

这是一个一元线性回归模型，可用最小二乘法估计lga和β₁，用1-β₁求得β₂，进而可测定科技进步、资本增长、劳动增长对产出增长的贡献率。

$\frac{a}{y}+\frac{\beta_1\overline{K}}{y}+\frac{\beta_2\overline{L}}{y}=1$

根据表1中所列的数据，用最小二乘法估计的回归模型为

lg $\frac{y}{L}$ =0．097+0．847lg $\frac{K}{L}$

(2．383)(6．562)

R=0．918F=43．056SE=0．0990

模型各项检验具有显著性。据此可求得科技进步率a=1．2503，资本产出弹性系数β₁=0．847，劳动产出弹性系数β₂=0．153，测定的科技进步、资本增长、劳动增长对产出增长的贡献率分别为15．75％、73．39％和9．06％。由于贡献率之和不等于100％，调整后分别为16．04％、74．74％和9．22％。