二、回归分析预测法分析

回归分析预测法是通过研究分析一个应变量对一个或多个自变量的依赖关系，从而通过自变量的已知或设定值来估计和预测应变量均值的一种预测方法。

回归分析预测法又可分成线性回归分析法、非线性回归分析法、虚拟变量回归预测法三种。这三种预测方法在新田公司销售预测中都可以运用。

(一)线性回归分析法的运用

线性回归预测法是指一个或一个以上自变量和应变量之间具有线性关系(一个自变量时为一元线性回归，一个以上自变量时为多元线性回归)，配合线性回归模型，根据自变量的变动来预测应变量平均发展趋势的方法。

线性回归预测法在销售预测中用得比较多，根据新田公司销售数据的散点圈分析，作者发现新田公司的XTl50～T、XTl25～C XTl25一W三种车型的销售可以用一元线性回归预测法进行预测，由于销售数据是时间性序列，多元线性回归在此不适用。

1.预测模型

由于新田公司销售预测中只用到一元线性回归预测法，而一元线性回归又是一种广泛应用并且比较简单的预测方法，因此，只需对一元线性回归模型作简单介绍。

设X为自变量，Y为应变量，Y与X之间存在某种线性关系，一元线性回归模型为：

yi = a + bxi + εi(1)

式中ε为各种随机因素y的影响总和，ε ? (0,σ2)；y-N(a+bx,σ2)。则可设(2)

对此，可以通过最小二乘法来估计模型的回归系数。根据最小平方原理，必须符合以下条件：

=最小值(3)

(4)

根据最小二乘法要求，记

根据极值原理，为使Q具有最小值，可分别对a、b求偏导数，并令其等于零，即

整理的：

对上两式联立求解，即可得到回归系数的估计值：

(5)

(6)

相关系数R可根据最小二乘原理及平均数的数学性质得到：

(7)

相关系数R的绝对值的大小表示相关程度的高低。

①当R=0时，说明是零相关，所求回归系数无效。

②当时，说明是完全相关，自变量X与应变量Y之间的关系为函数系。

⑧当时，说明是部分相关，渊值越大相关程度越高。

另外，估计标准差Sy，和预测区间公式参见《预测与决策技术》。

估计标准差：(8)

预测区间：(9)

在上式中，a为显著水平，n-2为自由度，为y在xo的估计值。

2.预测计算

根据上面介绍的预测模型，下面就先计算XTl50-T在2001年第一季度的预测销售量。

根据XTl50-T的销售数据有：(X为时间，Y为销售量)。

n=16；；；；；

根据公式(5)、(6)、(7)、(8)、(9)有：

(xi = 17)

i0.025(14) = 2.145

以上是XT150-T的销售预测计算，同理可计算XT125-C、XT150-W的预测结果，这里不再给出计算过程而直接写出结果：

①XTl25-C的预测结果：

　；　；　；R=0.99　；Sy = 16.56

预测区间为：(1641，1723)(i0.025(20) = 2.086)

②XTl25-W的预测结果：

　；　；　；R=0.99　；

Sy = 29.35

预测区间为：(1450，1596)(i0.025(20) = 2.086)

3.预测结果分析

从上面的预测结果来看，有一点非常奇怪，那就是三种车型的预测中，相关系数R都非常接近于“1”，也就是说，这三种车型的销售量和时间基本上是线性关系，相关程度非常之高。对于这个结果，作者感到很惊讶，为此，特意找到了新田公司，询问这三种车型的销售状况，这才找到了原因。原来，这三种车型是新田公司的形象产品，基本上没有利润，和其他品牌的同类车型相比具有较大的的竞争力，因而这三种车型的销售情况一直很好。公司为了其形象，对这三种车型采取计划供应的方式，按逐年递增的方式供应市场，以使这三种车型一直保持供不应求。由于以上原因，相关系数接近于“1”也就不奇怪了。

另外，作者把通过公式计算得到的各期销售数和实际销售量比较发现，这三种车型有一个共同特点，那就是：第一季度的预测值一般要比实际值大，而第二季度则相反。第三、四季度则预测值和实际值相近。仔细分析原因，可能是因为这三种车型价格都比较高，受年终分配影响，第一季度销量自然较大，随后的第二季度销量就自然偏小。

对比2001年第一季度的预测值和实际值，以及上面说到的两个特点可以发现，XT150-T的预测结果比较正常，而XTl25-C、XTl25-W的预测值却出现了反而比实际值大的反常情况。通过各期预测值和实际值比较发现，原来XTl25-W从99年第二季度开始就出现预测值大于实际值的情况，根据作者对摩托车市场的了解，认为可能是因为这种车型的销路已经出现问题，不能保持供不应求了。

XTl25-C可能也是这种情况，只不过该车型的滞销出现得稍稍晚而已。通过和新田公司销售部门的联系发现，作者的判断是正确的。

(二)非线性回归预测法的运用

非线性回归预测法是指自变量与因变量之间的关系不是线性的，而是某种非线性关系时的回归预测法。非线性回归预测法的回归模型常见的有以下几种：双曲线模型、二次曲线模型、对数模型、三角函数模型、指数模型、幂函数模型、罗吉斯曲线模型、修正指数增长模型。

通过对新田公司销售数据的散点图分析发现，XT100-W和XT50-K这两种车型的图形接近于抛物线形状，因此可用非线性回归的二次曲线模型来预测。

1.预测模型

非线性回归二次曲线模型为：(10)

令,则模型变化为：(11)

上式的矩阵形式为：Y = XB + ε(12)

用最小二乘法作参数估计，可设观察值与模型估计值的残差为E，则

，

根据小二乘法要求有：

=最小值，(13)

即：=最小值

由极值原理，根据矩阵求导法，对B求导，并令其等于零，得：

整理得回归系数向量B的估计值为：(14)

二次曲线回归中最常用的检验是R检验和F检验，公式如下：

(15)

(16)

在实际工作中，R的计算可用以下简捷公式：

(17)

估计标准误差为：

(18)

预测区间为：

·S(n<30)(19)

·S(n>30)(20)

2.预测计算

根据上面介绍的预测模型，下面就先进行XT100-W的预测计算。

根据XTl00-W的销售数据及(11)、(14)、(17)、(18)、(19)有(xi为时间变量)：

。

　(x_i=25)

；；；

(n-3)·(i0.025(21) = 2.080)

下面再计算XT50-K的预测结果。

根据XT50-K的销售数据及公式(11) 、(14)、(17)、(18)、(19)有：

。

；；；

(t0.025(21) = 2.080)

下面再计算XT50—K的预测结果。

根据XT50---K的销售数据及公式(11)、(14)、(17)、(18)、(19)有：

(xi = 25)

;;;

t0.025(21) = 2.080

3.预测结果分析

从2001年第一季度的预测结果和实际值的比较来看，预测还算是可行的，XTl00—W和XT50—K的实际销售量均在预测范围之内，回归系数也都接近于1，说明这两种车型选取非线性回归的二次曲线模型还是比较合适的。但是，还应该看到，两种车型的预测结果中估计标准差S都比较大，说明回归曲线和实际销售数据的拟合情况并不太好，而S数值的偏大同时也带来了预测范围较大的后果。因此，预测精度较差。

当然了，实际工作中不可能会有真正符合某条曲线的数据存在，只能是从散点图来看大致符合某种曲线，就用该种曲线来进行拟合，以求大致的预测结果。因此，对于XTl00—W和XT50—K的预测还是可行的。

再进一步考虑，XTl00—W的预测值比实际值大了66，说明实际下降趋势比预测的要小，而XT50—K的情况则刚好相反。如果排除偶然因素的话，有可能XTlOO—w销售量的下降趋势在减缓，而XT50—K则相反，下降趋势在加剧。联系实际情况，作者认为是50车型的销量因竞争的日益加剧和政策的影响而加速下滑，而100车型则可能是由于公司的努力而减低了销量下降的速度。作者的这个想法在后来和新田公司总工程师匡建中的交流中得到了验证。

(三)虚拟变量回归预测法的运用

在回归模型分析中，有时还要考虑诸如性别、文化程度、宗教、战争、灾难、季节以及政府经济政策变化等品质变量的影响。这时，可在建立回归模型时将品质变量引入线性回归模型中，这种回归预测法就是虚拟变量回归预测法。

常见的带虚拟变量的回归模型有以下三种形式：

(1)反映政府政策变化或某种因素发生重大变异的跳跃、间断式模型。

(2)具有转折点的系统趋势变化模型。

(3)含有多个虚拟变量的线性回归模型。

虚拟变量回归预测法的适用性一般在散点图上明确看出。在表(1.1)中的数据都不适用。不过，作者发现新田公司的XT50—M在无锡的销售倒是适合用具有转折点的系统趋势变化模型来进行预测。

1.预测模型

由于只有XT50—M在无锡的销售适合用具有转折点的系统趋势变化模型来进行预测(见是表4)下面仅介绍具有转折点的系统趋势变化模型。

具有转折点的系统趋势变化模型为：

yi = β1 + β2xi + β3(xi ? x0)Di + εi(21)

式中Di为虚拟变量，Di的取值为

io为发生转折点的时间，xo为io时间xi的观察值。(21)可变形为：

根据(21)，可令,，则该虚拟变量回归转化为二元线性回归，可用二元线性回归的计算方法计算。

2)预测计算

经过对散点图观察发现，1998年第四季度为转折点，即i0 = 12，由表(4)的数据及(14)、(17)、(18)、(19)、(21)可得：