抽样分布-经济百科

抽样分布(Sampling Distribtuion)

什么是抽样分布^[1]

抽样分布也称统计量分布、随机变量函数分布，是指样本估计量的分布。样本估计量是样本的一个函数，在统计学中称作统计量，因此抽样分布也是指统计量的分布。以样本平均数为例，它是总体平均数的一个估计量，如果按照相同的样本容量，相同的抽样方式，反复地抽取样本，每次可以计算一个平均数，所有可能样本的平均数所形成的分布，就是样本平均数的抽样分布。

抽样分布的类型^[2]

一、单一样本统计量的抽样分布

当我们要对某一总体的参数进行估计时，就要研究来自该总体的所有可能的样本统计量的分布问题，比如样本均值的分布、样本比例的分布，从而概括有关统计量抽样分布的一般规律。

(一)样本均值的抽样分布

1．样本均值抽样分布的形成

样本均值的抽样分布即所有样本均值的可能取值形成的概率分布。例如，某高校大一年级参加英语四级考试的人数为6000人，为了研究这6000人的平均考分，欲从中随机抽取500人组成样本进行观察。若逐一抽取全部可能样本，并计算出每个样本的平均考分，将会得出很多不完全相同的样本均值，全部可能的样本均值有一个相应的概率分布，即为样本均值的抽样分布。

我们知道，从总体的N个单位中抽取一个容量为n的随机样本，在重复抽样条件下，共有Nⁿ个可能的样本；在不重复抽样条件下，共有 $C_N^n$ = $\frac{N!}{n!(N-n)!}$ 个可能的样本。因此，样本均值是一个随机变量。

2．样本均值抽样分布的特征

从抽样分布的角度看，我们所关心的分布的特征主要是数学期望和方差。这两个特征一方面与总体分布的均值和方差有关，另一方面也与抽样的方法是重复抽样还是不重复抽样有关。

无论是重复抽样还是不重复抽样，样本均值的期望值总是等于总体均值μ，即：

公式一： $E(\overline{x})$ = μ

样本均值的方差则与抽样方法有关。在重复抽样条件下，样本均值的方差为总体方差的1/n，即：

公式二： $\sigma_x^2$ = $\frac{\sigma^2}{n}$

在不重复抽样条件下，样本均值的方差为：

公式三： $\sigma_x^2$ = $\frac{\sigma^2}{n}$ $\frac{N-n}{N-1}$

从公式二和公式三可以看出两者仅相差系数 $\frac{N-n}{N-1}$ ，该系数通常被称为有限总体修正系数。在实际应用中，这一系数常常被忽略不计，主要是因为：对于无限总体进行不重复抽样时，由于N未知，此时样本均值的标准差仍可按公式二计算，即可按重复抽样处理；对于有限总体，当N很大而抽样比例n/N很小时，其修正系数 $\frac{N-n}{N-1}$ =1 - $\frac{n}{N}$ $\to$ 1，通常在样本容量n小于总体容量N的5％时，有限总体修正系数就可以忽略不计。因此，公式二是计算样本均值方差的常用公式。

3．样本均值抽样分布的形式

样本均值抽样分布的形式与原有总体的分布和样本容量n的大小有关。

如果原有总体是正态分布，那么，无论样本容量的大小，样本均值的抽样分布都服从正态分布。

如果原有总体的分布是非正态分布，就要看样本容量的大小。随着样本容量n的增大(通常要求n≥30)，不论原来的总体是否服从正态分布，样本均值的抽样分布都将趋于正态分布，即统计上著名的中心极限定理。

(2)虽然总体成绩的分布形态未知，但σ已知，且n=150为大样本，依据中心极限定理可知：样本均值的抽样分布近似服从正态分布。

(二)样本比例的抽样分布

样本比例即指样本中具有某种特征的单位所占的比例。样本比例的抽样分布就是所有样本比例的可能取值形成的概率分布。例如，某高校大一年级学生参加英语四级考试的人数有6000人，为了估计这6000人中男生所占的比例，从中抽取500人组成样本进行观察，若逐一抽取全部可能样本，并计算出每个样本的男生比例，则全部可能的样本比例的概率分布，即为样本比例的抽样分布。可见，样本比例也是一个随机变量。

1．样本比例抽样分布的特征

在大样本情况下，样本比例的抽样分布特征可概括如下：

无论是重复抽样还是不重复抽样，样本比例p的数学期望总是等于总体比例P，即：

公式一：E(p)=P

而样本比例p的方差，在重复抽样条件下为：

公式二： $\sigma_p^2$ = $\frac{P(1-P)}{n}$

在不重复抽样条件下为：

$\sigma_p^2$ = $\frac{P(1-P)}{n}$ $(\frac{N-n}{N-1})$

2．样本比例抽样分布的形式

样本比例的分布属于二项分布问题，当样本容量n足够大时，即当nP与n(1一P)都不小于5时，样本比例的抽样分布近似为正态分布。

二、两个样本统计量的抽样分布

如果要对两个总体有关参数的差异进行估计，就要研究来自这两个总体的所有可能样本相应统计量差异的抽样分布。

(一)两个样本均值差异的抽样分布

若从总体X₁和总体X₂中分别独立地抽取容量为n₁和n₂的样本，则由两个样本均值之差 $\overline{ x_1}- \overline{ x_2}$ 的所有可能取值形成的概率分布称为两个样本均值差异的抽样分布。

设总体X₁和总体X₂的均值分别为μ₁和μ₂，标准差分别为σ₁和σ₂，则两个样本均值之差 $\overline{ x_1}- \overline{ x_2}$ 的抽样分布可概括为以下两种情况：

(1)若总体X₁—N(μ₁, $\sigma^2_1$ )，总体X₂—N(μ₂, $\sigma^2_2$ )，则

$\overline{x_1} - \overline{x_2}$ — N(μ₁ ? μ₂, $\frac{\sigma^2_1}{n}+\frac{\sigma^2_2}{n}$ )

(2)若两个总体都是非正态总体，当两个样本容量n₁和n₂都足够大时，依据中心极限定理， $\overline{x_1}$ 和 $\overline{x_2}$ 分别近似服从正态分布，则 $\overline{x_1} - \overline{x_2}$ — N(μ₁ ? μ₂, $\frac{\sigma^2_1}{n}+\frac{\sigma^2_2}{n}$ )。

(二)两个样本比例差异的抽样分布

若从总体X₁和总体X₂中分别独立地抽取容量为n₁和n₂的样本，则由两个样本比例之差p₁ ? p₂的所有可能取值形成的概率分布，称为两个样本比例差异的抽样分布。

设两个总体的比例分别为P₁和P₂，当两个样本容量n₁和n₂都足够大时，根据中心极限定理，p₁和p₂分别近似服从正态分布，则有

p₁ ? p₂—N（P₁-P₂， $\frac{P_1(1-P_1)}{n_1}$ + $\frac{P_2(1-P_2)}{n_2}$ ）

抽样分布的几个定理^[3]

(1)从总体中随机抽取容量为n的一切可能个样本的平均数之平均数，等于总体的平均数，即 $E(\overline{x})$ = μ，(E为平均的符号， $\overline{x}$ 为样本的平均数，μ为总体的平均数)。

(2)容量为n的样本平均数在抽样分布上的标准差，等于总体标准差除以n的方根，即σ_x = $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ，(σ_x为平均数抽样分布的标准差，σ为总体标准差，n为样本容量。)

(3)从正态总体中，随机抽取的容量为n的一切可能样本平均数的分布也呈正态分布。

(4)虽然总体不是正态分布，如果样本容量较大，反映总体μ和σ的样本平均数的抽样分布，也接近于正态分布。

抽样分布、样本分布和总体分布^[4]

统计中用随机变量X的取值范围及其取值概率的序列来描述这个随机变量，称之为随机变量X的概率分布。如果我们知道随机变量X的取值范围及其取值概率的序列，就可以用某种函数来表述X取值小于某个值的概率，即为分布函数：F(X)=P(X≤z)。

例如，一个由N家工业企业组成的总体，X为销售收入。将总体所有企业的销售收入按大小顺序排队，累计出总体中销售收入小于某值x的企业数量并除以总体企业总数N，就可得到总体中销售收入小于x的企业的频率，也即抽取一个销售收入小于x的企业的概率。此频率或概率随着x值不同而变化形成一个序列，形成了销售收入X的概率分布。

总体分布是在总体中X的取值范围及其概率。

样本分布是在样本中X的取值范围及其概率。上例中，如果抽取n个企业作为样本，我们同样可以用这n个销售收入的取值范围及其概率描述其分布，也即样本分布。样本分布也称为经验分布，随着样本容量n的逐渐增大，样本分布逐渐接近总体分布。

抽样分布是指样本统计量的概率分布。采用同样的抽样方法和同等的样本量，从同一个总体中可以抽取出许许多多不同的样本，每个样本计算出的样本统计量的值也是不同的。样本统计量也是随机变量，抽样分布则是样本统计量的取值范围及其概率。仍以工业企业为例，我们设计了一个抽样方案并确定了样本量，这时可能抽取的样本是众多的，每抽取一个样本就可以计算出一个企业平均销售收入 $\overline{x_i}$ ，所有可能 $\overline{x_i}$ 形成的分布就是抽样分布。例中，样本统计量 $\overline{x_i}$ 为随机变量，抽样分布是 $\overline{x_i}$ 的概率分布。